Metoda charakterystyk dla równań liniowych o n-zmiennych niezależnych

Rozważmy najpierw liniowe jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe \( \hskip 0.3pc 1 \hskip 0.3pc \)-go rzędu o \( \hskip 0.3pc n \hskip 0.3pc \)-zmiennych niezależnych

(1)

\( a_1(x_1,\ldots ,x_n) \dfrac{\partial u}{\partial x_1}+a_2(x_1,\ldots ,x_n) \dfrac{\partial u}{\partial x_2} +\ldots +a_n(x_1,\ldots ,x_n) \dfrac{\partial u}{\partial x_n}=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a_1, \ldots ,a_n \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pcC^1 \hskip 0.3pc \) określonymi w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb{R}^n. \hskip 0.3pc \)
Rozważmy ponadto układ równań

(2)

\( \begin{cases} \dfrac{dx_1}{dt}=a_1(x_1,\hskip 0.2pc ,\ldots ,\hskip 0.2pc x_n), &\\~~ \vdots \hskip 3pc \vdots\hskip 3pc \vdots &\\\dfrac{dx_n}{dt}=a_n(x_1,\hskip 0.2pc\ldots ,\hskip 0.2pc x_n), \end{cases} \)

zwany układem równań charakterystyk dla równania ( 1 ).

Definicja 1:

Funkcje \( \hskip 0.3pc u=u(x_1, \ldots ,x_n) \hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) nazywamy całką pierwszą układu równań ( 2 ) jeżeli dla dowolnego rozwiązania

\( x_1=x_1(t),\, \ldots ,\,\,\, x_n= x_n(t),\quad t \in I, \)

układu równań ( 2 ) mamy

\( u\big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big)= {\rm const} \qquad {\rm dla}\quad t \in I, \)

tzn. funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).

Bezpośrednim rachunkiem nietrudno sprawdzić iż zachodzi następująca uwaga:

Uwaga 1:

Niech \( \hskip 0.3pc f\,\,:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1, \hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) całką pierwszą układu ( 2 ).

Wówczas funkcja \( \hskip 0.3pc v=f\big(u (x_1, \ldots ,x_n) \big) \hskip 0.3pc \) jest również całą pierwszą układu (2).

Podobnie, jeśli funkcje \( \hskip 0.3pc u_1, \ldots ,u_k \hskip 0.3pc \) są całkami pierwszymi uładu (2) a \( \hskip 0.3pc F:\,R^k\to \mathbb {R} \hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1, \hskip 0.3pc \) to funkcja \( \hskip 0.3pc v=F\big(u_1(x_1, \ldots ,x_n) , \ldots ,u_k(x_1, \ldots ,x_n)\big) \hskip 0.3pc \) jest również całką pierwszą układu ( 2 )

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Funkcja \( \hskip 0.3pc u:\,\Omega \to \mathbb R \hskip 0.3pc \)jest klasy \( \hskip 0.3pc C^1. \hskip 0.3pc \)

TEZA:

Funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wtedy i tylko wtedy gdy jest całką pierwszą układu równań ( 2 ).

DOWÓD:

Warunek wystarczający. Niech \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) będzie całką pierwszą układu równań ( 2 ). Niech \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}=(\stackrel{o}{x}_1, \ldots , \stackrel{o}{x}_n)\in \Omega. \hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc x(t)= \big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big), \hskip 0.3pc \)gdzie \( \hskip 0.3pc t\in I, \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem układu równań ( 2 ) przechodzącym w chwili \( \hskip 0.3pc t_0 \hskip 0.3pc \) przez punkt \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}, \hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc x(t_0)=\,\stackrel{o}{x}. \hskip 0.3pc \)
Ponieważ \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest całką pierwszą układu ( 2 ) więc

\( u \big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big) = {\rm const}\qquad {\rm dla}\quad t \in I. \)

Różniczkując ostatnią równość względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) dostajemy

\( \dfrac{\partial u}{\partial x_1} \big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big)\,x_1'(t)+ \ldots +\dfrac{\partial u}{\partial x_n} \big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big)\,x_n'(t) =0, \quad t \in I. \)

W szczególności dla \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \) mamy

\( \dfrac{\partial u}{\partial x_1} ( \stackrel{o}{x})\,a_1( \stackrel{o}{x})\,+\,\,\ldots \,\,+\dfrac{\partial u}{\partial x_n} ( \stackrel{o}{x})\,a_n( \stackrel{o}{x})\, =0, \)

co oznacza, że funcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) spełnia równanie ( 1 ) w punkcie \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}. \hskip 0.3pc \)
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x} \hskip 0.3pc \) jest dowolnym punktem zbioru \( \hskip 0.3pc \Omega, \hskip 0.3pc \) więc funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \)

Warunek konieczny. Niech \( \hskip 0.3pc u=u(x_1, \ldots ,x_n) \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania ( 1 ), a układ funkcji \( \hskip 0.3pc x_1=x_1(t),\,\, \ldots ,\,\,\,x_n=x_n(t), \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in I, \hskip 0.3pc \) rozwiązaniem układu równań ( 2 ).
Oczywiście

\( \sum_{i=1}^n a_i\big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big) \dfrac{\partial u}{\partial x_i} \big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big) =0 \quad {\rm dla}\quad t \in I. \)

Ponieważ

\( x^\prime_i(t)= a_i\big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big) \qquad i=1, \ldots ,n, \)

powyższe równanie możemy zapisać w postaci

\( \sum_{i=1}^n x^\prime_i(t) \dfrac{\partial u}{\partial x_i} \big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big) =0, \)

czyli

\( \dfrac {d}{dt}u(\big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big) =0. \)

W konsekwencji

\( u\big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big) = {\rm const} \qquad {\rm dla}\quad t \in I, \)

co oznacza, że \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest całką pierwszą układu równań ( 2 ).

Definicja 2:

Funkcje \( \hskip 0.3pc u_1,\,\ldots,\,u_m\in C^1(\Omega)\hskip 0.3pc m\leq n, \hskip 0.3pc \) nazywamy funkcyjnie niezależnymi w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \)

jeśli dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\ldots,x_n)\in \Omega\hskip 0.3pc \) rząd macierzy

\( \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1}(x) &\ldots & \dfrac{\partial u_1}{\partial x_n}(x)\\\vdots &\ddots &\vdots\\ \dfrac{\partial u_m}{\partial x_1}(x)& \ldots & \dfrac{\partial u_m}{\partial x_n}(x)\end{bmatrix} \)

wynosi \( \hskip 0.3pc m. \hskip 0.3pc \)
W szczególności, jeśli \( \hskip 0.3pc m=n \hskip 0.3pc \) oznacza to, że wyznacznik z powyższej macierzy jest różny od zera.

Zauważmy, że jeśli \( \hskip 0.3pc u_1,\ldots,u_m \hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależne w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) to dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x \in \Omega \hskip 0.3pc \) równość

\( \lambda_1 u_1(x) + \cdots + \lambda_m u_m(x)=0 \)

zachodzi tylko wówczas, gdy \( \hskip 0.3pc\lambda_1 = \cdots = \lambda_m =0.\hskip 0.3pc \)
Przypomnijmy, że punkt \( \hskip 0.3pc\stackrel{o}{x}\in \Omega\hskip 0.3pc \) nazywamy punktem równowagi (lub stacjonarnym) układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli

\( a_1(\stackrel{o}{x})= a_2(\stackrel{o}{x})= \cdots =a_n(\stackrel{o}{x})=0. \)

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}\, =\big( \stackrel{o}{x}_1, \ldots , \stackrel{o}{x}_n\big) \in \Omega \hskip 0.3pc \) będzie dowolnym punktem rówwagi układu ( 2 ).

TEZA:

Wtedy istnieje \( \hskip 0.3pc n-1 \hskip 0.3pc \) funkcyjnie niezależnych całek pierwszych \( \hskip 0.3pc u_1, \ldots , u_{n-1} \hskip 0.3pc \) tego układu. Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)jest całką pierwszą układu ( 2 ) w tym otoczeniu, to

(3)

\( u(x_1, \ldots , x_n) =F\big(u_1(x_1, \ldots , x_n), \ldots , u_{n-1}(x_1, \ldots , x_n)\big), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1. \hskip 0.3pc \)

Dowód tego twierdzenia został przedstawiony w module "Całki pierwsze" (patrz twierdzenie 1 ).

Podsumowanie 1:

Z twierdzenia 2 wynika, że dowolne rozwiązanie równania ( 1 ) ma postać ( 3 ). Aby zatem znaleźć całkę ogólną równania ( 1 ) wystarczy znaleźć \( \hskip 0.3pc n-1 \hskip 0.3pc \) funkcyjnie niezależnych całek pierwszych układu równań charakterystyk ( 2 ).

Uwaga 2:

Zauważmy, że układ równań ( 2 ) możemy zapisać w postaci:

(4)

\( \dfrac{dx_1}{a_1}= \cdots =\dfrac{dx_n}{a_n}, \)

a ponadto dla dowolnych \( \hskip 0.3pc \lambda_1, \ldots , \lambda_n\in \mathbb R, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \mu_1, \ldots , \mu_n\in \mathbb R, \hskip 0.3pc \)

\( \dfrac{d\big(\lambda_1 x_1+\cdots +\lambda_nx_n \big)}{\lambda_1 a_1+\cdots +\lambda_na_n}= \dfrac{d\big(\mu_1 x_1+\cdots +\mu_nx_n \big)}{\mu_1 a_1+\cdots+\mu_na_n} \)

Przykład 1:

Znaleźć całkę ogólną równania

\( xu_x+yu_y+z^2u_z=0. \)

Układ równań charakterystyk możemy zapisać w postaci:

\( \dfrac {dx}{x}=\dfrac {dy}{y}=\dfrac {dz}{z^2}. \)

Rozwiązując równania:

\( \dfrac {dx}{x}=\dfrac {dy}{y}, \qquad \dfrac {dx}{x}=\dfrac {dz}{z^2}, \)

otrzymujemy:

\( \frac yx=C_1,\qquad xe^{\frac 1z}=C_2. \)

łatwo sprawdzić, że funkcje:

\( \psi_1= \frac yx ,\qquad \psi_2 =xe^{\frac 1z}. \)

są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk, a zatem szukana całka ogólna ma postać

\( u=F\big( \frac yx , \,xe^{\frac 1z}\big), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowlną dwóch zmiennych.

Rozważmy teraz równanie niejednorodne

(5)

\( a_1(x_1,\ldots ,x_n,u) \dfrac{\partial u}{\partial x_1} +\cdots +a_n(x_1,\ldots ,x_n,u) \dfrac{\partial u}{\partial x_n}=f(x_1, \ldots ,x_n,u), \)

gdzie \( \hskip 0.3pca_1, \ldots ,a_n \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) określonymi w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n. \hskip 0.3pc \)
Szukamy rozwiązania w postaci uwikłanej

(6)

\( V(x_1, \ldots ,x_n,u)=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) jest funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}w=(\stackrel{o}x_1, \ldots ,\stackrel{o}x_n, \stackrel{o}u). \hskip 0.3pc \)
Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial V}{\partial u}( \stackrel{o}w)\neq 0. \hskip 0.3pc \) Z twierdzenia o pochodnej funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}w \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \dfrac {\partial u}{\partial x_i}= -\dfrac{\partial V}{\partial x_i} \Big/\dfrac{\partial V}{\partial u},\qquad i=1, \ldots ,n \)

Podstawiając ostatnie wielkości do równania ( 5 ) otrzymamy równanie liniowe jednorodne

(7)

\( a_1(x_1,\ldots ,x_n,u) V_{x_1} + \cdots +a_n(x_1,\ldots ,x_n,u) V_{x_n} +f(x_1,\ldots ,x_n,u) V_u=0, \)

Równania charakterystyk równania ( 7 ) mają postać:

(8)

\( \dfrac{dx_1}{a_1(x_1,\,\,\ldots ,x_n,u)} = \,\, \ldots \,\, = \dfrac{dx_n}{a_n(x_1,\ldots ,x_n,u)} = \dfrac{du}{f(x_1,\ldots ,x_n,u)} . \)

Niech \( \hskip 0.3pc \psi_1, \ldots , \psi_n\hskip 0.3pc \) będą funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu równań ( 8 ). Zgodnie z wzorem ( 3 ) całka ogólna równania ( 7 ) ma postać

\( V=F(\psi_1, \ldots , \psi_n), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe.
Stąd i ( 6 ) wynika, że całką ogólną równania ( 5 ) ma postać

(9)

\( F(\psi_1, \ldots , \psi_n)=0. \)

Przykład 2:

Znaleźć całkę ogólną równania

\( u_x+yu_y+z^2u_z= u^3. \)

Równanie charakterystyk możemy zapisać w postaci:

\( \dfrac {dx}{1}=\dfrac {dy}{y}=\dfrac {dz}{z^2}=\dfrac {du}{u^3}. \)

Rozwiązując równania:

\( \dfrac {dy}{y}=\dfrac {dx}{1}, \qquad \dfrac {dz}{z^2}=\dfrac {dx}{1},\qquad \dfrac {du}{u^3}=\dfrac {dx}{1}, \)

otrzymamy:

\( \ln y -x=C_1,\qquad {\dfrac 1z}+x=C_2, \qquad \dfrac{1}{u^2}+2x=C_3 \)

łatwo sprawdzić, że funkcje:

\( \psi_1= \ln y -x,\quad \psi_2 =\dfrac{1}{z}+x, \quad \psi_3=\dfrac{1}{u^2}+2x, \)

są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk.
Zatem szukana całka ogólna ma postać:

\( F\big(\ln y -x ,\,\frac 1z +x, \,\frac{1}{u^2}+2x\big)=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną trzech zmiennych.

Temat:
Opis:
Typ:

Email: